Haikal Blogg: Limit dan Konsep Limit Fungsi Aljabar

A. Bentuk Umum Fungsi Aljabar

Limit fungsi aljabar terdiri dari jenis bagian yaitu nilai x mendekati satu titik dan nilai x mendekati tak berhingga (∞).

Cara penyelesaian nilai x mendekati berhingga adalah dengan substitusi, pemfaktoran, dan dikalikan dengan sekawannya.

Sedangkan untuk limit fungsi aljabar di mana x mendekati tak berhingga penyelesainnya yaitu dengan dibagi variabel pangkat tertinggi dan dikalikan sekawan akarnya.

Hasil perhitungan dari limit fungsi aljabar tidak boleh 0/0 karena nilainya tidak akan terdefinisi.

B. Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat sifat dibawah ini berlaku.

C. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 macam dalam limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$

Bentuk kedua

$\lim_{x\rightarrow \sim }f(x)$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

1. Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti pengubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=3(1)-1=3-1=2$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=2$

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 2}\ 2x^{2}+5=\ 2(2)^{2}+5=\ 2(4)+5=\ 8+5=\13$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 2}\ 2x^{2}+5=\ 13$

Contoh soal 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow -2}\ x^{2}-3x+2=\ (-2)^{2}-3(-2)+2=\ 4+6+2=\ 12$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow -2}\ x^{2}-3x+2=\ 12$

Contoh soal 4:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{1-x}{x+1}=\ \frac{1-(1)}{(1)+1}=\ \frac{0}{2}=\ 0$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{1-x}{x+1}=\ 0$

Contoh soal 5:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ (2x+\frac{3}{x})=\ 2(1)+\frac{3}{1}=\ 2+3=\ 5$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ (2x+\frac{3}{x})=\ 5$

2. Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ \frac{(2)^{2}-4}{2-2}=\ \frac{4-4}{2-2}=\ \frac{0}{0}$

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut beberapa contoh untuk dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{{{\color{Red} (x-2)}}{(x+2)}}{{\color{Red} (x-2)}}=\lim_{x\rightarrow 2}\ (x+2)=\ (2)+2=\ 4$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ 4$

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}+4x-5}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{{\color{Red} (x-1)}(x+5)}{{\color{Red} (x-1)}}=\lim_{x\rightarrow 1}(x+5)=(1)+5=6$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{x^{2}+4x-5}{x-1}=\ 6$

Contoh 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}=\ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{{\color{Red} (\sqrt{x}-\sqrt{2})}(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{{\color{Red} (\sqrt{x}-\sqrt{2})}}$
$\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x}+\sqrt{2}=\ \sqrt{2}+\sqrt{2}=\ 2\sqrt{2}$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x}+\sqrt{2}=\ 2\sqrt{2}$

Contoh soal 4:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow -2}\frac{5x^{2}+9x-2}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{{\color{Red} (x+2)}(5x-1)}{{\color{Red} (x+2)}}$
$\lim_{x\rightarrow -2}\textup{ }(5x-1)=\textup{ }{5(-2)-1}=-10-2= -11$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow -2}\textup{ }\frac{5x^{2}+9x-2}{x+2}=\textup{ }-11$

Contoh soal 5:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 3}\textup{ }\left ( \frac{x^{2}-3x}{x^{3}+2x^{2}-15x} \right )=\lim_{x\rightarrow 3}\textup{ }\frac{{\color{Red} x}(x-3)}{{\color{Red} x}(x^{2}+2x-15)}$
$\lim_{x\rightarrow 3}\textup{ }\frac{(x-3)}{(x^{2}+2x-15)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{{\color{Red} (x-3)}}{{\color{Red} (x-3)}(x+5)}$
$\lim_{x\rightarrow 3}\textup{ }\frac{1}{(x+5)}=\textup{ } \frac{1}{(3)+5}=\textup{ }\frac{1}{8}$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\\lim_{x\rightarrow 3}\left ( \frac{x^{2}-3x}{x^{3}+2x^{2}-15x} \right )=\textup{ }\frac{1}{8}$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang kedua ada beberapa cara dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan.

1. Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut

contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{4x^{2}-6x+1}{2x^{2}+7x}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{2}-6x+1}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}+7x}{x^{2}}}$

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 2, maka
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{2}}{x^{2}}-\frac{6x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{7x}{x^{2}}}=\ \lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{7}{x}}$
$\frac{4-\frac{6}{\sim }+\frac{1}{\sim ^{2}}}{2+\frac{7}{\sim }}=\ \frac{4-0-0}{2+0}=\frac{4}{2}=2$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x^{2}-6x+1}{2x^{2}+7x}=\ 2$

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x^{3}-5x}{3x^{2}-7}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{3}}{x^{2}}-\frac{5x}{x^{2}}}{\frac{3x^{2}}{x^{2}}-\frac{7}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x-\frac{5}{x}}{3-\frac{7}{x^{2}}}$

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 3, maka
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x-\frac{5}{x}}{3-\frac{7}{x^{2}}}=\ \frac{4(\sim )-\frac{5}{(\sim )}}{3-\frac{7}{(\sim )^{2}}}=\frac{\sim -0}{3-0}=\frac{\sim }{3}=\sim$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{4x^{3}-5x}{3x^{2}-7}=\ \sim$

Contoh soal 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{-4x^{2}+x-3}{3x^{3}-5}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{-4x^{2}+x-3}{x^{3}}}{\frac{3x^{3}-5}{x^{3}}}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{-4x^{2}}{x^{3}}+\frac{x}{x^{3}}-\frac{3}{x^{3}}}{\frac{3x^{3}}{x^{3}}-\frac{5}{x^{3}}}$

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 3, maka
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{-4}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x^{3}}}{{3}-\frac{5}{x^{3}}}=\frac{\frac{-4}{\sim }+\frac{1}{\sim ^{2}}-\frac{3}{\sim ^{3}}}{{3}-\frac{5}{\sim ^{3}}}=\frac{0+0-0}{3-0}=\frac{0}{3}=0$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{-4x^{2}+x-3}{3x^{3}-5}=\ 0$

2. Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Contoh soal:

Tentukan nilai limit dari

Langkah awal yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit yaitu dengan mensubtitusikan x=c ke f(x), sehingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke

Setelah disubstitusikan ternyata nilai limit tersebut tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak tentu. Maka dari itu untuk menentukan nilai suatu limit harus menggunakan metode lain. Apabila diperhatikan, pada f(x) terdapat bentuk akar yaitu sehingga metode perkalian dengan akar sekawaran dapat dilakukan pada kasus seperti ini.