SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT
SIFAT-SIFAT LIMIT
Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :
lim x →a 'c = c
lim x →a x'n = a'n
lim x →a 'c f(x) = c lim x →a f(x)
lim x →a ( f(x) + g(x)) = lim x →a f(x) + lim x →a g(x)
lim x →a ( f(x) x g(x)) = lim x →a f(x) x lim x →a g(x)
lim x →a f(x)/g(x) = (lim x →a f(x))/(lim x →a g(x))
lim x →a f(x)n = (lim x →a f(x))n
lim x →a n√ f(x) = n√lim x →a f(x)
CONTOH SOAL SIFAT-SIFAT LIMIT
1. Contoh sifat lim x →a c = c
Tentukan nilai lim x →2 7 !!!!
Jawab :
Dik :
a = 2
c = 7
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a c = c, maka :
lim x →2 7 = 7
Jadi nilai dari lim x →2 7 adalah 7
2. Contoh sifat lim x →a xn = an
Tentukan nilai lim x →2 x3 !!!
Jawab :
Dik :
a = 2
n = 3
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a xn = an , maka :
lim x →2 x'3 = 2'3
lim x →2 x'3 = 8
Jadi nilai dari lim x →2 x3 adalah 8
3. Contoh sifat lim x →a c f(x) = c lim x →a f(x)
Tentukan nilai lim x →2 4( x + 2 ) !!!
Jawab :
Dik :
a = 2
c = 4
f(x) = ( x + 2 )
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a c f(x) = c lim x →a f(x), maka :
lim x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim x →2 ( 2 + 2 ))
lim x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim x →2 4)
lim x →2 4( x + 2 ) = 16
Jadi nilai lim x →2 4( x + 2 ) adalah 16
4. Contoh sifat lim x →a ( f(x) + g(x)) = lim x →a f(x) + lim x →a g(x)
Tentukan nilai lim x →2 ( x3 + x4) !!!!!
Jawab :
dik :
a = 2
f(x) = x3
g(x) = x4
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a ( f(x) + g(x)) = lim x →a f(x) + lim x →a g(x), maka :
lim x →2 ( x3 + x4) = lim x →2 x3 + lim x →a x4
lim x →2 ( x3 + x4) = 23 + 24
lim x →2 ( x3 + x4) = 8 + 16
lim x →2 ( x3 + x4) = 24
Jadi nilai lim x →2 ( x3 + x4) adalah 24
5. Contoh sifat lim x →a ( f(x) x g(x)) = lim x →a f(x) x lim x →a g(x)
Tentukan nilai lim x →2 ( x3 . x4) !!!!!
Jawab :
dik :
a = 2
f(x) = x3
g(x) = x4
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a ( f(x) x g(x)) = lim x →a f(x) x lim x →a g(x), maka :
lim x →2 ( x3 . x4) = lim x →2 x3 . lim x →2 x4
lim x →2 ( x3 . x4) = 23 . 24
lim x →2 ( x3 . x4) = 8 . 16
lim x →2 ( x3 . x4) = 128
Jadi nilai dari lim x →2 ( x3 . x4) adalah 128
6. Contoh sifat lim x →a f(x)/g(x) = (lim x →a f(x))/(lim x →a g(x))
Tentukan nilai lim x →2 ( x4 / x3) !!!!!
Jawab :
dik :
a = 2
f(x) = x4
g(x) = x3
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus limx →a ( f(x)/g(x)) = (lim x →a f(x))/(lim x →a g(x)), maka :
lim x →2 ( x4/x3) = (lim x →2 x4)/(lim x →2 x3)
lim x →2 ( x4/x3) = 24/23
lim x →2 ( x4/x3) = 16/8
lim x →2 ( x4/x3) = 2
Jadi nilai dari lim x →2 ( x4/x3) adalah 2
7. Contoh sifat lim x →a f(x)n = (lim x →a f(x))n
Tentukan nilai lim x →2 ( x4 + 1)2 !!!!!
Jawab :
Dik :
a = 2
f(x) = x4 + 1
n = 2
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a f(x)n = (lim x →a f(x))n, Maka :
lim x →2 ( x4 + 1)2 = (lim x →2 x4 + 1)2
lim x →2 ( x4 + 1)2 = (24 + 1)2
lim x →2 ( x4 + 1)2 = (16 + 1)2
lim x →2 ( x4 + 1)2 = 172
lim x →2 ( x4 + 1)2 = 289
Jadi nilai dari lim x →2 ( x4 + 1)2 adalah 289
8. Contoh sifat lim x →a n√ f(x) = n√lim x →a f(x)
Tentukan nilai lim x →22√x4 !!!!!
Jawab :
Dik :
a = 2
f(x) = x4
n = 2
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a n√ f(x) = n√lim x →a f(x), maka :
lim x →22√x4 = 2√lim x →2 x4
lim x →22√x4 = 2√24
lim x →
22√x4 = 2√16
lim x →22√x4 = 4
Kesimpulan
Jika ingin lebih mahir dalam mengerjakan soal-soal matematika tentang limit maka kitaharus hafal di luar kepala 8 sifat limit yang sudah dijelaskan di atas.
SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT
Soal Cerita 1
Seekor lebah diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada suatu saat, lebah tersebut diamati terbang membentuk sebuah lintasan parabola. Setelah terbang selama 1 menit, lebah tersebut telah mencapai ketinggian maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 5 meter selama 1 menit. Pada menit berikutnya, lebah tersebut terbang menukik lurus ke tanah sampai mendarat kembali pada akhir menit ketiga.
Coba kamu modelkan fungsi lintasan lebah tersebut!
Cobalah kamu tunjukkan grafik lintasan terbang lebah tersebut.
Jadi, model fungsi lintasan lebah tersebut berdasarkan gambar di atas adalah:
dengan a, b, c, m, n bilangan real. Dari ilustrasi, diperoleh data sebagai berikut.
Misalkan posisi awal lebah pada saat hinggap di tanah adalah posisi pada waktu t = 0 dengan ketinggian 0, disebut titik awal O(0,0),
Kemudian lebah terbang mencapai ketinggian maksimum 5 meter pada waktu t = 1 sampai t = 2, di titik A(1,5) dan B(2,5).
Pada akhir waktu t = 2, lebah kembali terbang menukik sampai hinggap kembali di tanah dengan ketinggian 0, di titik C(3,0).
Berdasarkan data tersebut, kita akan menentukan fungsi lintasan lebah, dengan langkah-langkah berikut.
Substitusi titik O(0,0) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh c = 0.
Substitusi titik A(1,5) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh a + b + c = 5, karena c = 0, maka a + b = 5.
Karena fungsi kuadrat mencapai maksimum pada saat t = 1 maka
atau 1 b = –2a.
Dengan mensubstitusi b = –2a ke a + b = 5 maka diperoleh a = –5 dan b = 10.
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(t) = –5t 2 + 10t.
Lebah tersebut terbang konstan pada ketinggian 5 maka fungsi lintasan tersebut adalah f(t) = 5.
Substitusi titik B(2,5) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 5 = 2m + n.
8 Substitusi titik C(3,0) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 0 = 3m + n atau n = –3m.
Dengan mensubstitusi n = –3m ke 5 = 2m + n maka diperoleh m = – 5 dan n = 15.
Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = –5t + 15.
Dengan demikian, model fungsi lintasan lebah tersebut adalah:
Selanjutnya limit fungsi pada saat t = 1 dan t = 2 dapat dicermati pada tabel berikut.
Dari pengamatan pada tabel, dapat kita lihat bahwa y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 2. Perhatikan strategi lainnya. Mari perhatikan nilai fungsi pada t mendekati 1 dari kiri dan kanan, sebagai berikut:
•Untuk t mendekati 1
lim->1- -5t^2+10t = 5(disubtitusikan)
lim->1+ 5 = 5 (karena sudah pasti)
•Untuk t mendekati 2
lim->2- 5 = 5 (karena sudah pasti)
lim-2+ -5t+15 = 5 (disubtitusikan)
berarti dapat dinyatakan lim->2+ 5= lim->2- -5t^2+10t
sehingga fungsi lintasan tawon mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 2
Soal Cerita 2
Tiga anak (sebut nama mereka: Ani, Budi dan Candra) sedang bermain tebak angka. Ani memberikan pertanyaan dan kedua temannya akan berlomba memberikan jawaban yang terbaik. Perhatikanlah percakapan mereka berikut.
Alternatif Penyelesaian
Kedua teman Ani berlomba memberikan jawaban bilangan terdekat ke 3, seperti pada Gambar 10.4. Pada awalnya Budi dan Candra mengambil bilangan yang terdekat ke 3 dari kiri dan kanan sehingga mereka menjawab 2 dan 4. Ternyata masih ada bilangan real lain yang terdekat ke 3, sehingga Budi harus memberi bilangan yang lebih dekat lagi ke 3 dari kiri, maka Budi menyebut 2,5.
Hal ini membuat Candra ikut bersaing untuk mencari bilangan lain, sehingga ia menjawab 3,5. Demikianlah mereka terus-menerus memberikan jawaban sebanyak mungkin sampai akhirnya mereka menyerah untuk mendapatkan bilangan-bilangan terdekat ke-3.
Berdasarkan pemahaman kasus ini, ternyata ketidakmampuan teman-teman Ani untuk menyebutkan semua bilangan tersebut telah membuktikan bahwa begitu banyak bilangan real di antara bilangan real lainnya. Jika dimisalkan x sebagai variabel yang dapat menggantikan jawaban-jawaban Budi dan Candra maka x akan disebut bilangan yang mendekati 3 (secara matematika, dituliskan x → 3).
Daftar Pustaka:
https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-limit-fungsi-dan-contohnya.html
https://passinggrade.co.id/limit-fungsi/#Contoh_limit_fungsi
Tidak ada komentar:
Posting Komentar