SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

 Haikal Alfiwansyah_14_XI IPS 2

Soal Turunan Kelas 11 dalam Kehidupan sehari-hari

Assalamualaikum kembali lagi di blogg saya, kali ini saya akan memberi pelajaran dan pembahasan tentang soal turunan yang diambil dalam kehidupan sehari-hari.

Turunan (diferensial) merupakan pengukuran terhadap bagaimana sebuah fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan (input), secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

1. Biaya untuk memproduksi 

$x$ bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

Pembahasan

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah f(x)=14x2+25x+25, sedangkan fungsi penjualan sebanyak x bungkus keripik tempe adalah g(x)=x⋅(55−12x)=55x−12x2. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntunganh(x)=g(x)−f(x)=(55x−12x2)−(14x2+25x+25)=−34x2+30x−25Nilai fungsi h akan maksimum ketika h′(x)=0.
−34(2)x+30=0−32x=−30x=30×23x=20Substitusi x=20 pada h(x).
h(20)=−34(20)2+30(20)−25=−300+600−25=275Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

2. Untuk memproduksi 

$x$ unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x-10)$ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.200.000,00        D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00        E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00

Pembahasan

Misalkan keuntungan ($U$) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi), sehingga
$\begin{array}{cc}U\left(x\right)& =x(20-x)-(x^2+4x+10)\\ & =20x-x^2-x^2-4x+10\\ & =-2x^2+16x-10\end{array}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{U}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+16& =0\\ 4x& =16\\ x& =4\end{array}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi 4 unit pakaian, yaitu
$\begin{array}{cc}U\left(4\right)& =-2(4{)}^2+16(4)-10\\ & =-32+64-10=22\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E)

3. Nilai minimum fungsi 

$f(x,y)=4x+y$ pada daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan $xy\ge 4,x\ge 0$, dan $y\ge 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$                   C. $2$                   E. $8$
B. $-6$                   D. $6$

Pembahasan

Nilai minimum fungsi $f(x,y)=4x+y$tercapai ketika kedua variabel $x$ dan $y$ dipilih sekecil mungkin.
Untuk itu, nilai minimum akan tercapai ketika $xy=4$, atau setara dengan $y=\frac{4}{x}$.
Substitusikan pada $f(x,y)$ sehingga kita akan peroleh fungsi satu variabel $f\left(x\right)=4x+\frac{4}{x}$.
Nilai minimum tercapai saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga didapat
$\begin{array}{cc}\underset{f^{\prime }\left(x\right)}{\underset{}{4-\frac{4}{x^2}}}& =0\\ \frac{4}{x^2}& =4\\ \frac{1}{x^2}& =1\\ x& =\pm 1\end{array}$
Nilai $x=-1$ tidak dipilih karena diberi syarat $x\ge 0$.
Jadi, diperoleh $x=1$, berakibat $y=4$, dan didapat nilai minimumnya, yaitu $f_{\text{min}}(1,4)=4\left(1\right)+4=8$
(Jawaban E)

4. Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam 

$x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$     

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(3x–180+\frac{5.000}{x})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{cc}f\left(30\right)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000=2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\text{230 juta rupiah}$
(Jawaban C)

5. Suatu perusahaan memproduksi 

$x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi$x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

6. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling 

$(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$           

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$
(Jawaban C)

7. 

Perhatikan gambar berikut.

Layar bioskop memiliki tinggi $3$ meter dan terletak pada dinding $1$ meter di atas lantai. Jarak seseorang dari dinding agar besar sudut $\theta$ sebesar mungkin adalah $\cdots$ meter.
A. $1$                       C. $2$                    E. $3$
B. $\sqrt{3}$                     D. $2\sqrt{3}$

Pembahasan

Perhatikan kembali sketsa gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, kita peroleh $\tan \alpha =\frac{4}{x}$ dan $\tan \beta =\frac{1}{x}$, sehingga
$$\begin{array}{cc}\tan \theta & =\tan (\alpha -\beta )\\ & =\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\\ & =\frac{\frac{4}{x}-\frac{1}{x}}{1+\frac{4}{x}\cdot \frac{1}{x}}\times \frac{x^2}{x^2}\\ & =\frac{3x}{x^2+4}\end{array}$$Perhatikan bahwa $\theta$ berada di kuadran I. Agar $\theta$bernilai maksimum, $\tan \theta$ harus dibuat sebesar mungkin (pada kuadran I, semakin besar sudutnya, nilai tangen sudutnya juga semakin besar). 
Nilai ekstrem fungsi tangen $f\left(\theta \right)=\tan \theta$tercapai saat turunan pertamanya terhadap variabel $x$ bernilai $0$.
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, misalkan $u=3x$ dan $v=x^2+4$, sehingga $u^{\prime }=3$ dan $v^{\prime }=2x$. Kita peroleh
$$\begin{array}{cc}f\left(\theta \right)& =\tan \theta =\frac{3x}{x^2+4}\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(\theta \right)& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ 0& =\frac{3(x^2+4)-3x\left(2x\right)}{(x^2+4{)}^2}\\ 0& =\frac{3x^2+12-6x^2}{(x^2+4{)}^2}\\ 0& =\frac{-3x^2+12}{(x^2+4{)}^2}\\ 0& =-3x^2+12\\ 3x^2& =12\\ x^2& =4\\ x& =\pm 2\end{array}$$Karena $x$ mewakili besaran jarak (panjang), maka nilainya tidak mungki negatif. Jadi, diperoleh $x=2$. Ini artinya, jarak orang terhadap dinding itu haruslah $2\text{meter}$
(Jawaban C)

8. Total penjualan suatu barang 

$\left(k\right)$ merupakan perkalian antara harga $\left(p\right)$ dan permintaan $\left(x\right)$yang dinyatakan dengan $k=px$. Untuk $p=90-3x$ dalam jutaan rupiah dan $1\le x\le 30$, maka total penjualan maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.350.000.000,00
B. Rp675.000.000,00
C. Rp600.000.000,00
D. Rp450.000.000,00
E. Rp45.000.000,00

Pembahasan

Diberikan $k=px$. Untuk $p=90-3x$, diperoleh
$k=(90-3x)x=-3x^2+90x$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu $\frac{\text{d}k}{\text{d}x}$ bernilai $0$, ditulis
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}k}{\text{d}x}& =-6x+90\\ 0& =-6x+90\\ 6x& =90\\ x& =15\end{array}$
Nilai $x=15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k=-3x^2+90x$, sehingga diperoleh
$k_{\text{max}}=-3(15{)}^2+90(15)=675$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00
(Jawaban B)

9. Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah 

$\sqrt{5}$. Panjang sisi lainnya adalah $x$ dan $y$. Nilai maksimum untuk $2x+y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                                D. $7$
B. $4+\sqrt{3}$                     E. $7+\sqrt{3}$
C. $5+\sqrt{3}$

Pembahasan

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku
$x^2+y^2=(\sqrt{5}{)}^2=5$
Persamaan tersebut ekuivalen dengan
$y=\sqrt{5-x^2}$
Misalkan
$f\left(x\right)=2x+y=2x+\sqrt{5-x^2}$
Agar $f\left(x\right)$ maksimum, nilai turunan pertamanya harus $0$, sehingga kita dapatkan
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 2-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{5-x^2}}\cdot (-2x)& =0\\ 2-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}& =0\\ 2\sqrt{5-x^2}-x& =0\\ 2\sqrt{5-x^2}& =x\\ \text{Kuadratkan kedua ruas}& \\ 4(5-x^2)& =x^2\\ 20-4x^2& =x^2\\ x^2& =4\\ x& =2\end{array}$
Untuk $x=2$, diperoleh
$y=\sqrt{5-(2{)}^2}=1$
Dengan demikian, nilai maksimum dari $2x+y$adalah $2\left(2\right)+1=5$
(Jawaban A)

10.. Dennis membeli minyak goreng dalam kemasan plastik di suatu minimarket. Ia ingin memasukkan minyak goreng tersebut pada sebuah tabung tanpa tutup yang permukaannya terbuat dari lempengan seng tipis. Ternyata tabung tanpa tutup dengan luas permukaan 

$k\pi {\text{cm}}^2$ adalah tabung tanpa tutup dengan volume terkecil yang dapat memuat minyak goreng sebanyak $8\pi {\text{cm}}^3$. Nilai $k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                    C. $12$                 E. $18$
B. $8$                    D. $16$  

Pembahasan

Diketahui luas permukaan tabung tanpa tutup adalah $k\pi {\text{cm}}^2$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cccc}{L}_{\text{tab}\text{ung}}& =k\pi & & \\ \pi r^2+2\pi rt& =k\pi & & \\ \pi (r^2+2rt)& =k\pi & & \\ r^2+2rt& =k& & (\cdots 1)\end{array}$
Diketahui volume tabung tersebut $8\pi {\text{cm}}^3$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}_{\text{tab}\text{ung}}& =8\pi \\ \pi r^{2}t& =8\pi \\ r^{2}t& =8\\ t& =\frac{8}{r^2}(\cdots 2)\end{array}$
Substitusikan $\left(2\right)$ ke $\left(1\right)$, diperoleh
$\begin{array}{cc}{r}^2+2r\left(\frac{8}{r^2}\right)& =k\\ r^2+\frac{8}{r}& =k\\ r^3-kr+8& =0\end{array}$
Sekarang, misalkan $f\left(r\right)=r^3-kr+8$. Volume tabung akan minimum saat $f^{\prime }\left(r\right)=0$, yaitu
$3r^2–k=0\iff k=3r^2$
Ini artinya, volume tabung akan minimum bila $k=3r^2$. 
Substitusikan nilai $k$ ini ke $\left(1\right)$. 
$\begin{array}{cc}{r}^2+2rt& =k\\ r^2+2rt& =3r^2\\ 2r^2-2rt& =0\\ 2r(r-t)& =0\end{array}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r=t$. 
Terakhir, substitusikan ke $\left(2\right)$. 
$\begin{array}{cc}t& =\frac{8}{r^2}\\ t{r}^2& =8\\ \left(r\right)r^2& =8\\ r^3& =8\\ r& =\sqrt[3]{38}=2\end{array}$
Dengan demikian, $k=3r^2=3(2{)}^2=12$
Jadi, nilai $k$ adalah $12$.
(Jawaban C)

$\sqrt{\mathrm{.}}$