INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT SIFATNYA BERSERTA CONTOH SOALNYA

 Assalamualaikum bersama saya HaikalAlfiwansyah kelas 11 IPS 2 ingin membahas tentang MTK lagi.

INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT SIFATNYA BERSERTA CONTOH SOALNYA

Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Integral tak tentu (bahasa Inggris: indefinite integral) atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.

Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Mari perthatikan baik-baik contoh dari beberapa turunan dalam fungsi aljabar di bawah ini:

• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2                                                      

Berdasarkan contoh di atas, maka dapat kita ketahui jika terdapat banyak fungsi yang mempunyai hasil turunan yang sama yakni yI = 3x2.

Fungsi dari variabel x3 maupun fungsi dari variabel x3 yang dikurang atau ditambah pada sebuah bilangan (contohnya: +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama.

Tetapi, dalam kasus yang tidak diketahui fungsi awal dari sebuah turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut bisa kita tulis menjadi:

f(x) = y = x3 + C

Dengan nilai C dapat berapa pun. Notasi C ini juga disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari sebuah fungsi dinotasikan seperti berikut:

Dalam notasi di atas dapat kita baca integral terhadap x”. notasi  disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) merupakan penjumlahan F(x) dengan C atau:

Sebab integral dan juga turunan saling berkaitan, maka rumus integral bisa didapatkan dari rumusan penurunan. Apabila turunan:

Maka rumus integral aljabar didapatkan:

dengan syarat apabila n ≠ 1

Sifat integral

Sifat-sifat dari integral antara lain:

• ∫ k . f(x)dx = k. ∫ f(x)dx                         (dengan k adalah konstanta)
• ∫ f(x) + g(x)dx = ∫ (x)dx + ∫ g(x)dx
• ∫ f(x) – g(x)dx = ∫ f(x)dx – ∫ g(x)dx

Contoh Soal Integral Tak Tentu

$1.\; \int \left(12x^2-4x+1\right)dx=\cdots$
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 6x^3-4x^2+x+C\\ \left(B\right)& 6x^3-4x^2+C\\ \left(C\right)& 4x^3+2x^2+x+C\\ \left(D\right)& 4x^3-2x^2+x+C\\ \left(E\right)& 4x^3+2x^2+x+C\end{array}$

Pembahasan :

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{array}{cc}& \int \left(12x^2-4x+1\right)dx\\ & =\frac{12}{2+1}{x}^{2+1}-\frac{4}{1+1}{x}^{1+1}+1x+C\\ & =4x^3-2x^2+x+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah (

D) 4x3−2x2+x+C

2. Hasil dari 

$\int \left(2x^3-9x^2+4x-5\right)dx=\cdots$
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{2}{x}^4-6x^3+2x^2-5x+C\\ \left(B\right)& \frac{1}{2}{x}^4-6x^3+x^2-5x+C\\ \left(C\right)& \frac{1}{2}{x}^4-3x^3+x^2-5x+C\\ \left(D\right)& \frac{1}{2}{x}^4-3x^3+2x^2-5x+C\\ \left(E\right)& \frac{1}{2}{x}^4-6x^3-2x^2-5x+C\end{array}$

Pembahasan :

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{array}{cc}& \int \left(2x^3-9x^2+4x-5\right)\\ & =\frac{2}{3+1}{x}^{3+1}-\frac{9}{2+1}{x}^{2+1}+\frac{4}{1+1}{x}^{1+1}-5x+C\\ & =\frac{2}{4}{x}^4-\frac{9}{3}{x}^3+\frac{4}{2}{x}^2-5x+C\\ & =\frac{1}{2}{x}^4-3x^3+2x^2-5x+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)\frac{1}{2}{x}^4-3x^3+2x^2-5x+C$

3. Hasil dari 

$\int \left(2x-1\right){\left(x^2-x+3\right)}^{3}dx$ adalah...
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{3}{\left(x^2-x+3\right)}^3+C\\ \left(B\right)& \frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^3+C\\ \left(C\right)& \frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C\\ \left(D\right)& \frac{1}{2}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C\\ \left(E\right)& {\left(x^2-x+3\right)}^4+C\end{array}$

Pembahasan : 

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{array}{cc}u& =x^2-x+3\\ \frac{du}{dx}& =2x-1\\ du& =(2x-1)dx\end{array}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{array}{cc}& \int \left(2x-1\right){\left(x^2-x+3\right)}^{3}dx\\ & =\int {\left(x^2-x+3\right)}^3\left(2x-1\right)dx\\ & =\int {\left(u\right)}^{3}du\\ & =\frac{1}{3+1}{u}^{3+1}+C\\ & =\frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)\frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C$

4. Tentukan nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx !

Pembahasan :

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ 4 sin x + 7 cos x dx = – 4cos x + 7sin x + C

Jadi, nilai dari nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx adalah – 4cos x + 7sin x + C.

5. Hitunglah nilai dari ʃ dx/(3x2) !

Pembahasan :

ʃ dx/(3x2) =  ʃ ⅓ x–2  dx

Jadi, nilai dari ʃ dx/(3x2) adalah – 1/(3x) + C.

DAFTAR PUSTAKA 

https://www.soalskul.com/2020/12/soal-pembahasan-integral.html

https://www.edura.id/blog/matematika/integral/

$.$