PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

Assalamualaikum kembali lagi bersama saya Haikal Alfiwansyah kelas 11 IPS 2 kali ini saya akan memberitahu informasi mengenai matematika pembuktian.

LOGIKA MATEMATIKA (Metode Pembuktian Matematika)

Metode Pembuktian Matematika

a.       Pembuktian langsung

b.      Pembuktian tidak langsung

c.       Induksi matematika

a.    Pembuktian Langsung Pembuktian langsung dalam matematika dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)

Contoh : Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil”.

Bukti : Diketahui bahwa n bilangan ganjil, maka dapat dituliskan n = 2k+1,

     dengan k bilangan bulat

     sehingga  n2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1

     Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjil

     Jadi n2 bilangan ganjil

b.    Pembuktian Tidak Langsung Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

1)        Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan

kebenaran ~q → ~p

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan

            kebenaran kontraposisinya.

Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).

Artinya n2  bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah

bilangan ganjil.

2)      Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh : Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n2 ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat

ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n2 = (2k)2 atau n2 = 4k2

Ini menunjukkan bahwa  n2 = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

c.         Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh : Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan

                 asli n”.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Sehingga P(k+1) benar

Logika Matematika

Logika Matematika

Dalam logika matematika, kita belajar untuk mementukan nilai dari suatu pernyataan, baik bernilai benar atau salah. Pernyataan sendiri terbagi menjadi 2 jenis, yaitu:

Pernyataan tertutup (kalimat tertutup)

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

Contoh:

“5 adalah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah karena yang benar adalah “5 adalah bilangan ganjil”.

Pernyataan terbuka (kalimat terbuka)

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.

Contoh logika matematika:

Saat x= 1 maka p(1) : 3(1)+1>6 bernilai salah

Saat x= 2 maka p(2) : 3(2)+1>6 bernilai benar

Ingkaran atau Negasi dari suatu Pernyataan

Ingkaran atau negasi adalah kebalikan nilai dari suatu pernyataan, dimana ketika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu pernyataan bernilai salah, negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan p dilambangkan dengan ~p

Pernyataan Kuantor

Pernyataan kuantor adalah bentuk logika matematika berupa pernyataan yang memiliki kuantitas. Dalam pernyataan kuantor, pada umumnya terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, dan sebagian.

Kata-kata yang senilai dengan seluruh, semua, setiap termasuk dalam kuantor universal dan kata-kata yang senilai dengan sebagian, beberapa, ada termasuk dalam kuantor eksistensial. Kuantor universal dan kuantor eksistensial saling beringkaran.

p: semua orang adalah sarjana (Kuantor universal)

~p: sebagian orang adalah tidak sarjana

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya

Dalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika. Pernyataan gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.

Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing memiliki lambang dan istilah sendiri.

Tabel Kebenaran Konjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari konjungsi adalah bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai benar.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari disjungsi adalah bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai salah.

Tabel Kebenaran Implikasi

Pada sifat implikasi ini, p--->q, p disebut sebagai hipotesa dan q sebagai konklusi. Pada implikasi ini akan bernilai salah ketika konklusi salah dan hipotesa benar.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

Pada sifat biimplikasi, penyataan majemuk akan bernilai benar jika kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar atau keduanya salah.

Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan yang ada dan kontradiksi adalah kebalikannya, yaitu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan yang ada.

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu

sekian dari saya Haikal Alfiwansyah dari kelas 11 ips 2 absen 14

Maaf jika ada salah kata assalamualaikum wr wb

soal relasi dan fungsi

Assalamualaikum wr wb, kali ini saya Haikal Alfiwansyah akan memberikan beberapa soal beserta pembahasan tentang relasi dan fungsi.

1. Jika ( 2x - y, x + y ) = ( x + 5, 4y - 3 ) maka nilai x sama dengan...

Pembahasan:

Jika (2x-y,x+y)=(x+5,4y-3) 

(1)2x-y=x+5

     x=y+5

(2)x+y=4y-3

    y+5+y=4y-3

    2y+5=4y-3

     8=2y

     4=y

(3)x=4+5

    x=9

2. Jika pasangan berurutan (3, x) = (2x, y) maka nilai y =...

Pembahasan:

3=2x 

x = 3/2 atau 1,5 

x = y = 1,5

3. Jika f ( x - 3 ) = 4x + 1 maka f(2)=...

Pembahasan:

F(x) = ax+c

a = 4/1 = 4

c = 1-(4.-3)

   = 1+12

   = 13

f(x) = 4x+13

f(2) = 4.2+13= 21

4. Misal f(2) = 4 dan f( x + 3 ) = f(x) + 5 maka f(8) =...

Pembahasan:

F(x+3) = f(x) + 5

f(2+3) = f(2) + 5

f(5) = 4 + 5

f(5) = 9

f(x + 3) = f(x) + 5

f(5 + 3) = f(5) + 5

f(8) = 9 + 5

f(8) = 14

5. Diketahui fungsi f(x) = 3x + 4. Nilai dari f(5) =...

Pembahasan:

F(x) = 3x + 4

F(5) = 3(5) + 4

        = 15 + 4

        = 19

6. Sebuah parabola memotong sumbu x di (1, 0) dan (5, 0), dan memotong sumbu y di (0, 5). Titik baik parabola adalah...

Pembahasan:

X1 = 1

x2 = 5

melalui x = 0 dan y = 5

persamaan parabola

y = a (x-x1)(x-x2)

5 = a (0-1)(0-5)

5 = a(5)

a = 5/5

a = 1

persamaan parabola

y= 1 (x-1)(x-5)

y = x² - 6x + 5

sumbu simetri = x = -b/2a = - (-6)/2.1 = 3

Nilai y = 3² -6.3 + 5 = -4

Titik balik (3,-4)

7. Nilai p agar grafik fungsi kuadrat y = px2 + px + 1 menyinggung sumbu x adalah...

Pembahasan:

Menyinggung sumbu x artinya b²-4ac=0

a=p, b=p dan c=1

p²-4p=0

p(p-4)=0

p=0 atau p =4

karena p≠0 maka p=4

8. Sepotong kawat yang panjangnya 56cm dibengkokkan membentuk persegu panjang yang luasnya 171 cm2. Panjang persegi panjangnya=...

Pembahasan:

P = panjang persegi panjang 

l = lebar persegi panjang 

k = keliling persegi panjang 

L = luas persegi panjang 

k = 56 

2(p + l) = 56 

p + l = 56 : 2

p + l = 28

p = 28 - l 

L = 171

p.l = 171 

(28 - l)l = 171

28l - l² = 171

l² - 28l + 171 = 0

(l - 9)(l - 19) = 0 

l = 9 cm atau l = 19 cm 

p = 28 - 9 atau p = 28 - 19

p = 19cm atau p = 9 cm

9. Sisi sisi segitiga siku siku berbanding sebagai 3:4:5. Jika luas segitiga sama dengan 12 maka panjang sisi hipotenusa=...

Pembahasan:

A:b:c = 3:4:5

c= sisi hipotenusa

L=12

  =1/2at

  =1//2 x 3y x 4y

  = 6y

6y=12

  y=2

hipo tenusa = 5y = 5(2) = 10 satuan

10. Jika f(x) = 3x + 1 makaa [f(x)]2 - f(x2) - 2f(x) =...

Pembahasan :

F(x)= 3x + 1

[F(x)]2= (3x + 1)2= 9x^2 + 6x + 1

F(x2)= 3x^2 + 1

2[f(x)]= 6x + 2

[F(x)]2- f(x^2) - 2f(x) = 9x^2 + 6x + 1 - (3x^2 + 1) - (6x + 2)

                                    = 9x^2+1-3x^2-1-2

                                    = 6x^2-2

11. Jika f(x) = 5x + 1 dan g(x-1) = x^2 maka ( f o g )(2)=...

Pembahasan:

komposisi fungsi

fog(x)= f { g(x)}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

f(x)  = 5x+ 1

g(x -1) = x² --> g(x)= ( x+ 1)²

(fog)(2) = f { g(2)}

(fog)(2) = f {3²}

(fog)(2) = 5(3²) + 1

(fog)(2) = 46

12. Jika f(x) = 1 + x dan g(x) = x-3/x+3 maka (g o f)(2)=...

Pembahasan:

gof(x)=g(f(x))

gof(x)=g(1+x)/g(1+x)

gof(x)=1+x-3/1+x+3

gof(x)=x-2/x+4

gof(2x)= 2x-2/2x+4

13. Diketahui fungsi f(x)=x+1 /x-3 , x # 3 dengan g(x) = x'2 +x+1 .Nilai kompisisi fungsi (g o f) (2) adalah...

14. Invers fungsi f(x) = 2x + 6 adalah f^-1(x) adalah...

Pembahasan:

Kalo f(x) = ax + b

f^-1 (x) = (x-b)/a

f(x) = 2x + 6

f^-1(x) = (x-6)/2 

f^-1(x) = 1/2x - 3

15. Diketahui fungsi f dengan rumus f(x)=2x-3,dan f-1 adalah fungsi invers dari f.nilai f-1 (-2)=

Pembahasan:

f(x) = 2x-3

y = 2x-3

2x = y+3

x = (y+3)/2

f-¹(x) = (x+3)/2

maka, 

f-¹(-2) = (-2+3)/2

f-¹(-2) = 1/2

16. Jika f (x)= 2x-5/x-4 maka f-1 (x)=...

17. F(x) = 5x³ maka f-1(4)=...

Pembahasan:

F(x)=5x^3

Y= 5x^3

Y/5= x^3

f^-1(4) = kubik akar 4/5

18. Diketahui fungsi f dengan rumus f(x)=5x+3 dan f`¹ adalah fungsi invers dari f.nilai dari f`1 (-2) =...

Pembahasan:

Invers dari fungsi adalah mengubah bentuk y=f(x) menjadi x=f(y)

y=5x+4

y-4=5x

x= (y-4)/5

jadi f invers = (x-4)/5

f`(-2)=( -2-4)/5 = -6/5

19. diketahui fungsi f(x) =x+1/x-3, x tidaksama 3 ,dan g(x) =x²+x+1.tentukan nilai komposisi fungsi (gof)(2)!

Pembahasan:

(g • f)(2) = g(f(2))

f(2)

= (2 + 1)/(2 - 3)

= 3/-1

= -3

g(f(2)

= g(-3)

= (-3)^2 - 3 + 1

= 9 - 3 + 1

= 7

20. Diketahui fungsi f(x) =x+1/x-3,x sama dengan 3 dan g(x) =x^2+x+1. nilai komposisi fungsi (gof)(2)=…

Pembahasan:

F(x)= x+1/x-3

g(x)= x^2+x+1

gof(x)= (x+1/x-3)^2+ (x+1/x-3) +1

= (x^2+2x+1/x^2-6x+9) + (x+1/x-3) + 1

= (x^2-2x +1/x^2-6x+9) + (x+1 +x-3/x-3)

=(x^2-2x + 1/x^2 -6x +9) +(2x-2/x-3)

= (x^2 -2x + 1) + (2x^2-8x-6)/ x^2-6x+9

= 3x^2-10x-5/x^2-6x+9

gof(2)= 3(2)^2 -10(2) -5/2^2-6(2)+9

= (3*4-20-5) / (4-12+9)

= 12-25 / 1

=-13

Horeeee.....sekian terimakasih assalamualaikum wr wb

Soal Trigonometri_

Soal trigonometri dan pembahasan Haikal Alfiwansyah (14) X IPS 2

1. Sebuah kipas angin berputar dengan   kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!

Penyelesaian:

36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik

36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik

Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.

2. Sebuah segitiga siku-siku.

Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :

a) cos β

b) tan β

Pembahasan

sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3

Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):

Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah

3. Segitiga KLM memiliki koordinat K(−5,−2),L(3,−2), dan M(−5,4). Nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah?

Pembahasan :

Pertama sketsakan segitiga KLM pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Tampak bahwa segitiga KLM merupakan segitiga siku-siku (di L).

Dari gambar di atas, diketahui bahwa

KL=3−(−5)=8;KM=4−(−2)=6

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh

LM=√KL2+KM2=√82+62=√64+36=√100=10

Untuk itu,

cosL=KLLM=810=45tanM=KLKM=86=43

Jadi, nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah 45 dan 43.

4. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah?

Pembahasan :

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni −30°.

Karena satu putaran sama dengan 360°, maka −30° sama dengan (360−30)°=330°

Jadi, besar sudutnya adalah 330°

5. Jika (f o g) (x) = x + 4, dan g(x) = x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f(x).

Pembahasan :

(f o g) (x) = x + 4

f(g(x)) = x + 4

f(x – 2) = x + 4

Misal u = x – 2, maka x = u + 2, sehingga

f(x – 2) = x + 4

f(u) = u + 2 + 4

f(u) = u + 6

f(x) = x + 6

y = x + 6

x = y – 6

f-1(x) = x – 6

Jadi, invers dari fungsi f(x) adalah f-1(x) = x – 6.

6. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Pembahasan :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

= -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

= -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

=cos 27°

7. Tanpa memakai kalkulator, tentukan nilai dari sin100°−cos190°cos350°−sin260°

Pembahasan :

sin 100° = sin (90° + 10°)

= cos 10°

cos 190° = cos (180° + 10°)

= -cos 10°

cos 350° = cos (360° − 10°)

= cos 10°

sin 260° = sin (270° − 10°)

= -cos 10°

Jadi :

sin100°−cos190°cos350°−sin260°=cos10°−(−cos10°)cos10°−(−cos10°)=2cos10°2cos10°=1

8. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 0° < x ≤ 360.

Pembahasan :

cos 2x = 1/2

cos 2x = cos 60

Maka :

2x = 60 + k.360

x = 30 + k.180

Untuk k = 0

maka x = 30 + (0)180 = 30

Untuk k = 1

maka x = 30 + (1)180 = 210

dan 2x = –60 + k.360

x = –30 + k.180

Untuk k = 1

maka x = –30 + (1)180 = 150

Untuk k = 2

maka x = –30 + (2)180 = 330

Jadi H adalah { 30, 150 , 210 , 330 }

9. untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius

Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah?

Pembahasan :

koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius

              (r , α) ⇒ ( x , y )

r = 6√3 ;         α = 60° 

(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)

x = r cos α

⇒ 6√3 x cos 60°

⇒ 6√3 x 1/2

⇒ 3√3

y = r sin α

⇒ 6√3 x sin 60°

⇒ 6√3 x 1/2 √3

⇒ 3 x 3

⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)

10. Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah?

Pembahasan :

Perhatikan ilustrasi berikut.

Jadi, tinggi menara adalah

= 80 . tan30° + 1,5

= 80 . 1/3√3 + 1,5

= (80/3√3+1,5)m

11. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.

Pembahasan :

AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC

4cm/sin 60 = BC/sin30

4cm/½√3 = BC/½

BC = ½ × 4cm/½√3

BC = 4cm/√3

BC = 4/3 √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.

12. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B.

Pembahasan :

Akan dicari besar sudut B

sin B = (b sin A)/a

sin B = 8/6 sin 30̊

sin B = 2/3

B = arc sin B

B = arc sin (2/3)

B = 41,8̊

Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊

13. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a yaitu 10 cm dan panjang sisi c yaitu 12 cm. Jika besar sudut yang diapit oleh a dan c yaitu 46o, maka tentukan panjang sisi b.

Pembahasan :

Dik : a = 10 cm, ∠B = 46o, c = 12 cm

Dit : b = ... ?

Berdasarkan aturan cosinus :

⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

⇒ b2 = 102 + 122 − 2(10)(12) cos 46o

⇒ b2 = 100 + 144 − 240 (0.6946)

⇒ b2 = 244 − 166,7

⇒ b2 = 77,3

⇒ b = 8,8 cm

Jadi, panjang sisi b yaitu 8,8 cm.

14.

15.

16.  Grafik f(x)=2cosx memotong sumbu-X di titik berkoordinat ?

Pembahasan :

Apabila grafik memotong sumbu-X, maka nilai f(x)=y=0. Dengan demikian,

f(x)=2cosx⇒0=2cosx⇔cosx=0

Nilai x yang membuat cosx bernilai 0 adalah 90°.

Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat (90°,0)

17. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah°?

Pembahasan :

Pembahasan

Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh π2, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x)= y = a sin k(x−c).

Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).

Dimulai dari titik x =−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x =3π2, sehingga periode grafik fungsinya adalah 3π2–(−π2)=2π.

Dengan demikian,

k = 2π Periode = 2π

2π =1

Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni

a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2

Jadi, rumus grafik fungsinya adalah f(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)

18. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi

F(x) = 8sin(x+3x/2)cos x

Pembahasan:

Gunakan:

2sin a cos B = sin (a+B)+(a-B)

F(x)=8sin(x+3x/2)cos x

F(x)=4×2sin(x+3x/2)cos x

F(x)=4(sin(x+3x/2-x))

F(x)=4(sin(2x+3x/2)+sin(x/2))= 4(sin(2x+3x/2)-1)

F(x)=4sin(2x+3x/2)-4

Sehingga:

• untuk sin (2x+3x/2)=1, maka

Fmaks= 4(1)-4=0

• untuk sin(2x+3x/2)=-1, maka

Fmin= 4(-1)-4=-8

19. Andi berdiri tegak pada jarak 10√3 m dari kaki sebuah pohon besar yang tumbuh gerak lurus. Jika tinggi Andi 1,6 m dan melihat ke puncak pohon dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi pohon tersebut?  

Pembahasan :

tan 60⁰ =  x / 10√3

       √3 = x / 10√3

x = √3 . 10√3

x = 30

Jadi tinggi pohon adalah

= x + tinggi Andi

= 30 m + 1,6 m

= 31,6 m

20. Dalam suatu lingkaran berjari-jari 10 cm, dibuat segi – 8 beraturan. Panjang sisi segi – 8 tersebut adalah?

Pembahasan :

Untuk mencari panjang sisi segi delapan, kita perlu mengetahui besar sudut puncak segitiga pada segi delapan, yaitu:

=360°/8=45°

Selanjutnya, untuk menentukan panjang sisi segi delapan dapat digunakan persamaan pada aturan cosinus.

AB²=OA²+OB²-2 . OA . OBcos 45°

AB²=10²+10²-2 . 10. 10. cos45°

AB²=100+100-2 . 100 .1/2√2

AB²=200-100√2

AB=√200-100√2

AB=√100(2-√2)

AB=10(√2-√2)cm

Nah segitu duluya untuk pembahasan kali ini, Assalamualaikum wr wb