Soal trigonometri dan pembahasan Haikal Alfiwansyah (14) X IPS 2
1. Sebuah kipas angin berputar dengan kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!
Penyelesaian:
36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik
36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik
Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.
2. Sebuah segitiga siku-siku.
Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β
Pembahasan
sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3
Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):
Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah
3. Segitiga KLM memiliki koordinat K(−5,−2),L(3,−2), dan M(−5,4). Nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah?
Pembahasan :
Pertama sketsakan segitiga KLM pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.
Tampak bahwa segitiga KLM merupakan segitiga siku-siku (di L).
Dari gambar di atas, diketahui bahwa
KL=3−(−5)=8;KM=4−(−2)=6
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
LM=√KL2+KM2=√82+62=√64+36=√100=10
Untuk itu,
cosL=KLLM=810=45tanM=KLKM=86=43
Jadi, nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah 45 dan 43.
4. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah?
Pembahasan :
Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni −30°.
Karena satu putaran sama dengan 360°, maka −30° sama dengan (360−30)°=330°
Jadi, besar sudutnya adalah 330°
5. Jika (f o g) (x) = x + 4, dan g(x) = x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f(x).
Pembahasan :
(f o g) (x) = x + 4
f(g(x)) = x + 4
f(x – 2) = x + 4
Misal u = x – 2, maka x = u + 2, sehingga
f(x – 2) = x + 4
f(u) = u + 2 + 4
f(u) = u + 6
f(x) = x + 6
y = x + 6
x = y – 6
f-1(x) = x – 6
Jadi, invers dari fungsi f(x) adalah f-1(x) = x – 6.
6. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 153°
sin 243°
cos 333°
Pembahasan :
Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.
tan 153° = tan (180° − 27°)
= -tan 27°
Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 243° = sin (270° − 27°)
= -cos 27°
Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 333° = cos (360° − 27°)
=cos 27°
7. Tanpa memakai kalkulator, tentukan nilai dari sin100°−cos190°cos350°−sin260°
Pembahasan :
sin 100° = sin (90° + 10°)
= cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°)
= -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°)
= cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°)
= -cos 10°
Jadi :
sin100°−cos190°cos350°−sin260°=cos10°−(−cos10°)cos10°−(−cos10°)=2cos10°2cos10°=1
8. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 0° < x ≤ 360.
Pembahasan :
cos 2x = 1/2
cos 2x = cos 60
Maka :
2x = 60 + k.360
x = 30 + k.180
Untuk k = 0
maka x = 30 + (0)180 = 30
Untuk k = 1
maka x = 30 + (1)180 = 210
dan 2x = –60 + k.360
x = –30 + k.180
Untuk k = 1
maka x = –30 + (1)180 = 150
Untuk k = 2
maka x = –30 + (2)180 = 330
Jadi H adalah { 30, 150 , 210 , 330 }
Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah?
Pembahasan :
koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius
(r , α) ⇒ ( x , y )
r = 6√3 ; α = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)
x = r cos α
⇒ 6√3 x cos 60°
⇒ 6√3 x 1/2
⇒ 3√3
y = r sin α
⇒ 6√3 x sin 60°
⇒ 6√3 x 1/2 √3
⇒ 3 x 3
⇒ 9
sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)
10. Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah?
Pembahasan :
Perhatikan ilustrasi berikut.
Jadi, tinggi menara adalah
= 80 . tan30° + 1,5
= 80 . 1/3√3 + 1,5
= (80/3√3+1,5)m
11. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.
Pembahasan :
AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC
4cm/sin 60 = BC/sin30
4cm/½√3 = BC/½
BC = ½ × 4cm/½√3
BC = 4cm/√3
BC = 4/3 √3 cm
Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.
12. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B.
Pembahasan :
Akan dicari besar sudut B
sin B = (b sin A)/a
sin B = 8/6 sin 30̊
sin B = 2/3
B = arc sin B
B = arc sin (2/3)
B = 41,8̊
Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊
13. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a yaitu 10 cm dan panjang sisi c yaitu 12 cm. Jika besar sudut yang diapit oleh a dan c yaitu 46o, maka tentukan panjang sisi b.
Pembahasan :
Dik : a = 10 cm, ∠B = 46o, c = 12 cm
Dit : b = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
⇒ b2 = 102 + 122 − 2(10)(12) cos 46o
⇒ b2 = 100 + 144 − 240 (0.6946)
⇒ b2 = 244 − 166,7
⇒ b2 = 77,3
⇒ b = 8,8 cm
Jadi, panjang sisi b yaitu 8,8 cm.
14.
15.
16. Grafik f(x)=2cosx memotong sumbu-X di titik berkoordinat ?
Pembahasan :
Apabila grafik memotong sumbu-X, maka nilai f(x)=y=0. Dengan demikian,
f(x)=2cosx⇒0=2cosx⇔cosx=0
Nilai x yang membuat cosx bernilai 0 adalah 90°.
Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat (90°,0)
17. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah°?
Pembahasan :
Pembahasan
Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh π2, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x)= y = a sin k(x−c).
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik x =−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x =3π2, sehingga periode grafik fungsinya adalah 3π2–(−π2)=2π.
Dengan demikian,
k = 2π Periode = 2π
2π =1
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2
Jadi, rumus grafik fungsinya adalah f(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)
18. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi
F(x) = 8sin(x+3x/2)cos x
Pembahasan:
Gunakan:
2sin a cos B = sin (a+B)+(a-B)
F(x)=8sin(x+3x/2)cos x
F(x)=4×2sin(x+3x/2)cos x
F(x)=4(sin(x+3x/2-x))
F(x)=4(sin(2x+3x/2)+sin(x/2))= 4(sin(2x+3x/2)-1)
F(x)=4sin(2x+3x/2)-4
Sehingga:
• untuk sin (2x+3x/2)=1, maka
Fmaks= 4(1)-4=0
• untuk sin(2x+3x/2)=-1, maka
Fmin= 4(-1)-4=-8
19. Andi berdiri tegak pada jarak 10√3 m dari kaki sebuah pohon besar yang tumbuh gerak lurus. Jika tinggi Andi 1,6 m dan melihat ke puncak pohon dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi pohon tersebut?
Pembahasan :
tan 60⁰ = x / 10√3
√3 = x / 10√3
x = √3 . 10√3
x = 30
Jadi tinggi pohon adalah
= x + tinggi Andi
= 30 m + 1,6 m
= 31,6 m
20. Dalam suatu lingkaran berjari-jari 10 cm, dibuat segi – 8 beraturan. Panjang sisi segi – 8 tersebut adalah?
Pembahasan :
Untuk mencari panjang sisi segi delapan, kita perlu mengetahui besar sudut puncak segitiga pada segi delapan, yaitu:
=360°/8=45°
Selanjutnya, untuk menentukan panjang sisi segi delapan dapat digunakan persamaan pada aturan cosinus.
AB²=OA²+OB²-2 . OA . OBcos 45°
AB²=10²+10²-2 . 10. 10. cos45°
AB²=100+100-2 . 100 .1/2√2
AB²=200-100√2
AB=√200-100√2
AB=√100(2-√2)
AB=10(√2-√2)cm
Nah segitu duluya untuk pembahasan kali ini, Assalamualaikum wr wb
Tidak ada komentar:
Posting Komentar