INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

 Assalamualaikum kembali lagi bersama saya Haikal Alfiwansyah XI IPS 2, Minggu lalu kita telah membahas tentang integral tak tentu dan kali ini kita akan membahas integral tertentu.

Pengertian Integral Tentu 

    Integral tentu adalah integral yang memiliki nilai batas atas dan batas bawah. Batas-batas yang diberikan umumnya adalah suatu nilai konstanta. Namun dapat juga batas-batas tersebut berupa variabel. Untuk mencari nilai integral tertentu dari suatu fungsi, pertama kita substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi batas bawah pada fungsi hasil integral.

Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Keterangan:
f(x) = fungsi yang nantinya akan kita integralkan

d(x) = variabel integral
a = batas bawah pada variabel integral
b = batas atas pada variabel integral
F(a) = nilai integral pada batas bawah
F(b) = nilai integral pada batas atas

Sifat-sifat pada Integral Tentu 

Integral sebenarnya dapat ditentukan dengan mudah. Untuk mempermudah perhitungan integral, Gengs dapat memanfaatkan sifat-sifat integral berikut ini.

Pertama. Jika batas atas dan batas bawah dalam suatu integral tentu adalah sama, maka hasil integral tentu dari fungsi tersebut akan sama dengan nol karena tidak ada daerah antara batas batas tersebut.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Kedua. Jika batas atas dan batas bawah dalam integral tentu diubah posisinya (batas atas menjasi batas bawah dan batas bawah menjadi batas atas) untuk fungsi integral yang sama, maka akan diperoleh hasil hasil yang sama namun berbeda tanda.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Ketiga. Jika f(x) adalah fungsi integral dan k merupakan tetapan (konstanta) sembarang.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keempat. Misalkan diberikan dua buah fungsi yaitu f(x) dan g(x), maka integral  tentu dari penjumlahan atau pengurangan kedua fungsi tersebut dapat diselesaikan.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Kelima. Misalkan terdapat dua integral dengan nilai fungsi yang sama dan nilai pada batas atas pada fungsi pertama sama dengan nilai pada batas bawah pada fungsi kedua.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keenam. Apabila fungsi f(x) nya bukan suatu fungsi melainkan konstanta.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Contoh - Contoh Soal 

Soal No.1

---

Carilah hasil integral berikut :

2∫1 5 dx

Pembahasan

2∫1 5 dx = (

50+1

x⁰⁺¹) 2|1

⇔ 2∫1 5 dx = 5x 2|1

⇔ 5(2) - 5(1) = 5

Soal No.2

---

Carilah hasil integral berikut :

5∫2 (3x² - 6x) dx = ......?

Pembahasan

5∫2 (3x² - 6x) dx = (x³ - 3x²)5|2

⇔ (5³ - 3.5²) - (2³ - 3.2²) 
⇔ (125 - 75) - (8 - 12) 
⇔ (50) - (-4) = 54

Soal No.3

---

Hitunglah nilai integral :

2∫-1 (4x - 6x²) dx = ......?

Pembahasan

2∫-1 (4x - 6x²) dx = (2x² - 2x³)2|-1

⇔ (2.2² - 2.2³) - (2.(-1)² - 2.(-1)³) 
⇔ (8 - 16) - (2 + 3) 
⇔ (-8) - (5) = -13

Soal No.4

---

Carilah nilai integral tertentu berikut ini :

π/2∫0 sin x dx = ......?

Pembahasan

π/2∫0 sin x dx = - cos x π/2|0

⇔ -(cos π/2 - cos 0 )
⇔ -(0 - 1) 
⇔ -(-1) = 1

Soal No.5

---

Carilah nilai integral berikut :

2∫-1 (x -2|x|) dx = ....?

Pembahasan

Perhatikan bentuk harga mutlaknya. Dengan menggunakan definisi harga mutlak, bentuk integral dibagi menjadi 2 bagian, yaitu untuk inverval -1 ≤ x < 0 dan 0 ≤ x ≤ 2 

2∫-1 (x -2|x|) dx = 0∫-1 (x - (-2x)) dx + 2∫0 (x - 2x)) dx

⇔ 0∫-1 3x dx + 2∫0 (-x)) dx

⇔ 

32

x² 0|-1 + -

12

x² 2|0

⇔ - 

32

 + (-2) = -3,5

Daftar pustaka

https://www.sheetmath.com/2018/06/integral-tentu-contoh-soal-dan-pembahasan.html

https://bfl-definisi.blogspot.com/2017/12/contoh-soal-integral-tertentu-beserta.html?m=1

INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT SIFATNYA BERSERTA CONTOH SOALNYA

 Assalamualaikum bersama saya HaikalAlfiwansyah kelas 11 IPS 2 ingin membahas tentang MTK lagi.

INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT SIFATNYA BERSERTA CONTOH SOALNYA

Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Integral tak tentu (bahasa Inggris: indefinite integral) atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.

Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Mari perthatikan baik-baik contoh dari beberapa turunan dalam fungsi aljabar di bawah ini:

• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2                                                      

Berdasarkan contoh di atas, maka dapat kita ketahui jika terdapat banyak fungsi yang mempunyai hasil turunan yang sama yakni yI = 3x2.

Fungsi dari variabel x3 maupun fungsi dari variabel x3 yang dikurang atau ditambah pada sebuah bilangan (contohnya: +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama.

Tetapi, dalam kasus yang tidak diketahui fungsi awal dari sebuah turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut bisa kita tulis menjadi:

f(x) = y = x3 + C

Dengan nilai C dapat berapa pun. Notasi C ini juga disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari sebuah fungsi dinotasikan seperti berikut:

Dalam notasi di atas dapat kita baca integral terhadap x”. notasi  disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) merupakan penjumlahan F(x) dengan C atau:

Sebab integral dan juga turunan saling berkaitan, maka rumus integral bisa didapatkan dari rumusan penurunan. Apabila turunan:

Maka rumus integral aljabar didapatkan:

dengan syarat apabila n ≠ 1

Sifat integral

Sifat-sifat dari integral antara lain:

• ∫ k . f(x)dx = k. ∫ f(x)dx                         (dengan k adalah konstanta)
• ∫ f(x) + g(x)dx = ∫ (x)dx + ∫ g(x)dx
• ∫ f(x) – g(x)dx = ∫ f(x)dx – ∫ g(x)dx

Contoh Soal Integral Tak Tentu

$1.\; \int \left(12x^2-4x+1\right)dx=\cdots$
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 6x^3-4x^2+x+C\\ \left(B\right)& 6x^3-4x^2+C\\ \left(C\right)& 4x^3+2x^2+x+C\\ \left(D\right)& 4x^3-2x^2+x+C\\ \left(E\right)& 4x^3+2x^2+x+C\end{array}$

Pembahasan :

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{array}{cc}& \int \left(12x^2-4x+1\right)dx\\ & =\frac{12}{2+1}{x}^{2+1}-\frac{4}{1+1}{x}^{1+1}+1x+C\\ & =4x^3-2x^2+x+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah (

D) 4x3−2x2+x+C

2. Hasil dari 

$\int \left(2x^3-9x^2+4x-5\right)dx=\cdots$
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{2}{x}^4-6x^3+2x^2-5x+C\\ \left(B\right)& \frac{1}{2}{x}^4-6x^3+x^2-5x+C\\ \left(C\right)& \frac{1}{2}{x}^4-3x^3+x^2-5x+C\\ \left(D\right)& \frac{1}{2}{x}^4-3x^3+2x^2-5x+C\\ \left(E\right)& \frac{1}{2}{x}^4-6x^3-2x^2-5x+C\end{array}$

Pembahasan :

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{array}{cc}& \int \left(2x^3-9x^2+4x-5\right)\\ & =\frac{2}{3+1}{x}^{3+1}-\frac{9}{2+1}{x}^{2+1}+\frac{4}{1+1}{x}^{1+1}-5x+C\\ & =\frac{2}{4}{x}^4-\frac{9}{3}{x}^3+\frac{4}{2}{x}^2-5x+C\\ & =\frac{1}{2}{x}^4-3x^3+2x^2-5x+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)\frac{1}{2}{x}^4-3x^3+2x^2-5x+C$

3. Hasil dari 

$\int \left(2x-1\right){\left(x^2-x+3\right)}^{3}dx$ adalah...
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{3}{\left(x^2-x+3\right)}^3+C\\ \left(B\right)& \frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^3+C\\ \left(C\right)& \frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C\\ \left(D\right)& \frac{1}{2}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C\\ \left(E\right)& {\left(x^2-x+3\right)}^4+C\end{array}$

Pembahasan : 

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{array}{cc}u& =x^2-x+3\\ \frac{du}{dx}& =2x-1\\ du& =(2x-1)dx\end{array}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{array}{cc}& \int \left(2x-1\right){\left(x^2-x+3\right)}^{3}dx\\ & =\int {\left(x^2-x+3\right)}^3\left(2x-1\right)dx\\ & =\int {\left(u\right)}^{3}du\\ & =\frac{1}{3+1}{u}^{3+1}+C\\ & =\frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)\frac{1}{4}{\left(x^2-x+3\right)}^4+C$

4. Tentukan nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx !

Pembahasan :

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ 4 sin x + 7 cos x dx = – 4cos x + 7sin x + C

Jadi, nilai dari nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx adalah – 4cos x + 7sin x + C.

5. Hitunglah nilai dari ʃ dx/(3x2) !

Pembahasan :

ʃ dx/(3x2) =  ʃ ⅓ x–2  dx

Jadi, nilai dari ʃ dx/(3x2) adalah – 1/(3x) + C.

DAFTAR PUSTAKA 

https://www.soalskul.com/2020/12/soal-pembahasan-integral.html

https://www.edura.id/blog/matematika/integral/

$.$