Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal

 Februari 01, 2021

Assalamualaikum selamat datang kembali, kali ini saya akan memberitahu pembelajaran baru yuk di simak. 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

 materi tentang persamaan garis singgung kurva masih berkaitan dengan gradien garis singgung. 

Perhatikan gambar berikut ini:

                 

  Garis Singgung & Garis Normal

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien

dan melalui A(x1,y1)

Langkah-langkah untuk mencari garis singgung dan garis normal ;

1.) Tentukan titik singgung (X1, Y1)

2.) Cari koefisien arah m = f`(X1)

3.) Cari garis singgung dengan rumus y-y1 = m (x-x1)

4.) Cari garis normal dengan rumus y-y1 = -1/m (x-x1)

Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada garis singgung kurva 13

Contoh ;

3. Diketahui kurva dengan persamaan y=x²-x-6 tentukan :

A. Persamaan garis singgung di x= 2

B. Persamaan garis normal di titik tersebut

JAWAB

y = x2– x – 6 dengan x = 2 

y = (2)2– (2) – 6 

y = – 4 

Diperoleh titik singgung di (2, –4) 

y’ = f’(x) = 2x – 1 

m = f’(2) = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3 

Diperoleh gradien garis singgung m = 3 

a.Persamaan garis singgung 

y – y1= 3 (x – x1) 

y – (–4) = 3(x – 2) 

y + 4 = 3x – 6 

y = 3x – 10 atau 3x –y – 10 = 0 

b.Persamaan garis normal 

y – y1= m1−(x – 2) 

y + 4 = 31−(x – 2) 3

y + 12 = –x + 2 

x + 3y + 10 = 0 

4.  Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Jawab :

x = 2 y = x4 - 7x2 + 20 y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)

Persamaan Garis singgung

m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

  y - y1 = m(x - x1)

y - 8 = 4(x - 2)

y - 8 = 4x - 8

y = 4x Persamaan garis singgung

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 

Garis normal bergardien

melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

Persamaan Garis

Persamaan garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dengan gradien m adalah :$$y-y_1=m(x-x_1)$$
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik $(1,4)$ dengan m = 3 adalah

y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :

• y = ax + b          ⇒ m = a
• ax + by + c = 0  ⇒ m = $-\frac{a}{b}$

Contoh :

1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = $-\frac{6}{-2}$ = 3

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
$$m=tan\alpha$$
Gradien Garis A dan B :

• Sejajar : $m_A=m_B$
• Tegak lurus : $m_A\cdot m_B=-1$

Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik $\left(x_1,y_1\right)$. Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $$y-y_1=m(x-x_1)$$

dengan $m=f^{\prime }\left(x_1\right)$

$y=x^2+2x$