Pengertian, macam macam, operasi, contoh soal matrik

Assalamualaikum kembali lagi bersama saya

Haikal Alfiwansyah 

XI IPS 2 (13)

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah sebuah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.

Baris pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Sedangkan Kolom pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

Susunan bilangan dalam matriks ini diletakkan didalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.

Dalam penamaan suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya matriks A,

B, C, D, ..., dan seterusnya.

B. Jenis-jenis Matriks

Matriks memilik banyak jenis yang dapat dibedakan dengan ordo dan elemen-elemennya. Jenis matriks adalah sebagai berikut.

1. Matriks baris.

2. Matriks kolom.

Matriks yang terdiri dari satu kolom. Contoh :

3. Matriks persegi.

Matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Contoh :

4. Matriks nol.

Matriks yang semua elemennya nol. Contoh :

5. Matriks identitas.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Contoh :

6. Matriks Skalar.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Contoh :

7. Matriks diagonal.

Matriks persegi memiliki elemen di luar diagonal utama yang bernilai nol. Contoh :

8. Matriks segitiga atas.

Matriks persegi yang elemen diagonal bawah bernilai nol. Contoh :

9. Matriks segitiga bawah.

Matriks persegi yang elemen diagonal atas bernilai nol. Contoh :

10. Transpos matriks A atau (A t).

Matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j

Misalnya, jika matriks A

maka matriks transpos dari A adalah :

C. Operasi pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka

•Penjumlahan

Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B

•Perkalian dengan skalar

Hasil dari perkalian matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A

Pengurangan

Selisih antara matriks A dan B ditulis A - B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.

Contoh :

Jika

Maka 

(a). A+B

(b). 2A-3B

(c). 2At+Bt

Jawab :

(A)

(B)

(C)

D. Contoh soal mantrik

1. Jika diketahui persamaan metrik !

Pembahasannya :

Karena kedua matriks sama, maka elemen-elemen yang seletak akan sama pula, sehingga berlaku:

2x + 1 = 3

2x = 2

x = 1

y + 12 = 15

y = 3

x + y = 1 + 3 = 4

2. Jika determinan nilai matriks A adalah 4 kali determinan nilai matriks B, maka nilai x adalah…

Pembahasannya:

det A = 4 det B 

4 x (16 x ) – (-16) = 4 (108 – (-152)) 

4 x (4 2x ) + 16 = 4 (260) 

4 3x = 4 (260) – 16 

4 3x = 4 (260) – 4 (4) 

4 3x = 4 (260 – 4) 

4 3x = 4 (256) 

4 3x = 4. 4 4

4 3x = 4 5

3x = 5 

x = 5/3

3. Jumlah dan selisih kedua vektor masing-masing adalah:

jadi jawabannya adalah 60°

4. Tentukan nilai x, y dan z berikut ini, jika :

Penyelesaian :

Maka :

z = 1 ………………………………….……..(1)

–2y – 4x = –10

y + 2x = 5

y = 5 – 2x ..…………………………. (2)

6y + 2x = 3x + 4

6y + 2x – 3x = 4

6y – x = 4 …………………………… (3)

(2) akan disubtitusikan ke (3), sehingga menjadi :

6(5 – 2x) – x = 4

30 – 12x – x = 4

–13x = –26 maka x = 2

y = 5 – 2(2) = 1

z = 1

5. Jika diketahui persamaan matrik a, b, dan c sebagai berkiut :

Bila At ialah gambaran dari rumusan matriks A dan At . B = C, maka tentukan nilai dari 2x + y = ….

Pembahasannya:

Jika didapat rumusan matriks ordo 2×2 maka :Jika A’ adalah transpose matriks A dan AX = B + A’ maka determinan matriks x adalah …

6. Diketahui matriks

A= 

/1 2\

\3 5/

Dan B=

/3 -2\

\1  4/

Pembahasan :

Daftar pustaka:

https://tanya-tanya.com/rangkuman-contoh-soal-pembahasan-matriks

https://majalahpendidikan.com/soal-matriks-kelas-11/https://rumus.co.id/contoh-soal-matriks/#Contoh_Soal_Matriks_Beserta_Pembahasannya

Soal cerita untuk menentukan nilai optimum

Nama : Haikal Alfiwansyah

Kelas  : XI IPS 2

Soal: 

Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari  Rp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak?

Ditanya:

Buat Pertidaksamaannya dulu baru table setelah itu daerah kotor dan daerah bersihnya, himpunan penyelesaian , titik pojok untuk menentukan nilai optimalnya dan laba Dewi dari nilai tertinggi yang diperoleh.

Pembahasan:

Dik :

Model 1 = kain polos 1m dan kain bergaris 1,5m

Model 2 = kain polos 2m dan kain bergaris 0,5m

Persediaan = kain polos 20 dan kain bergaris 10

Laba = model 1 tidak kurang dari Rp.15.000,00 dan model 2 tidak kurang dari Rp. 10.000,00

Dit : laba yang diperoleh....

Jawaban :

Kita misalkan :

Model 1 : x

Model 2 : y

Selanjutnya kita buat menjadi tabel agar mempermudah pembacaan.

Kita buat kain polos menjadi persamaan, yaitu dengan ( model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain polos yaitu

1x + 2y = 20.......(kain polos)

Kita buat juga untuk kain bergaris menjadi persamaan, yaitu dengan (model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain bergaris yaitu

1,5x + 0,5y = 10.....(kain bergaris)

Untuk langkah selanjutnya, persamaan kain polos dan bergaris kita substitusi dan eliminasi kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai x dan y.

Dari hasil eliminasi persamaan kain polos dan kain bergaris ditemukan hasil x=4, selanjutnya mari kita substitusi x ke persamaan kain polos.

Setelah ditemukan nilai x=4 dan  nilai y=8, langkah selanjutnya yaitu menentukan laba. Seperti yang dijelaskan di soal. Model 1 mendapatkan laba tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan untuk model 2 mendapatkan laba tidak kurang dari Rp. 10.000,00. Sehingga menjadi sebuah [laba = laba model 1 (x) + laba model 2 (y)]. Atau dalam penulisan angka dapat dituliiskan seperti diawah ini.

Laba = 15.000x + 10.000y

Karena nilai x dan y sudah kita temukan dengan cara substitusi dan elimanasi persamaan kainpolos dan kain bergaris. Selnajutnya kita tinggal memasukkan nilai x dan y kedalam Laba = 15.000x + 10.000y.

jadi, laba yang didapatkan oleh dewi yaitu sebesar Rp. 140.000,00

Latihan Progam Linear

Assalamualaikum wr. wb.

Hallo semuanya bertemu lagi dengan saya Haikal Alfiwansyah. Saya disini akan menjawab sebuah soal yang diberikan oleh guru saya. Sebelumnya saya memohon maaf bila cara pengerjaan, salah perhitungan, dan salah dalam menjawab. Saya akan perbaiki lebih baik lagi. Terima kasih.

Matematika progam linear

Pengertian Program Linear

Program linear merupakan suatu program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear.

Di dalam persoalan linear tersebut terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear adalah merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Perhatikan tabel persoalan maksimum dan minimum dibawah berikut:

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam sebuah model matematika.

Model matematika adalah pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai gambaran:

Sebuah produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr. Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan digudang untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Apabila disimpulkan atau disederhanakan ke dalam bentuk tabel akan menjadi sebagai berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 ialah x dan model 2 ialah y, serta hasil penjualan optimal ialah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan beberapa syarat:

Apabila jumlah maksimal bahan 1 yaitu 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.

Apabila jumlah maksimal bahan 2 yaitu 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000

Masing-masing dari setiap model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapatkan jumlah penjualan yang maksimum yaitu:

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif yaitu fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki sebuah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada ialah berupa titik-titik dalam diagram cartesius yang apabila koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear maka dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear bisa ditentukan dengan menggunakan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya, maka kita bisa tentukan letak titik yang menjadi nilai optimum.

Langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada pada cartesius.

• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan pada garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut adalah himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki suatu kemungkinaan besar akan membuat fungsi menjadi optimum.

• Meneliti nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara, yaitu :

○Menggunakan garis selidik, dan

○Membandingkan nilai fungsi objektif pada tiap titik ekstrim.

1. Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik dapat diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by yang mana garis selidiknya ialah:

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai.

Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaannya juga dibuat.

Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Lalu kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal.

Berikut adalah pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0), yaitu:

Apabila maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.

Apabila minimum, maka dibuatlah garis yang sejajar garis selidik awal sehingga akan membuat suatu himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut.

Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikan grafik dibawah

Cara ke- 2 (syarat b > 0), yaitu:

Apabila maksimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.

Apabila minimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikanlah grafik dibawah berikut:

Bagi nilai a < 0 dan b < 0 maka berlaku sebuah kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

2. Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilaksanakan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari suatu garis-garis batas yang ada. Titik-titik potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum pada salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut, maka dapat ditentukan nilai masing-masing fungsinya, yakni kemudian dibandingkan.

Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil adalah merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1:

Tentukanlah sebuah nilai minimum dari: f(x, y) = 9x + y pada daerah yang telah dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

Langkah 1 yaitu menggambar grafiknya terlebih dahulu:

Langkah ke-2 menentukan titik-titik ekstrimnya:

Maka berdasarkan gambar diatas, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang telah diarsir.

Langkah yang ke-3, yaitu menyelidiki nilai optimum:

Berdasarkan grafik diatas dapat diketahui titik A dan B mempunyai nilai y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum.

Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan tersebut,maka bisa disimpulkan bahwa titik A memiliki nilai minimum 18.

Contoh Soal 2:

Tentukanlah dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar ialah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik A paling kiri.

• B(3, 6)

• C(8, 2)

• D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim ialah:

• B(3, 6)>f(3, 6)=4(3)+5(6)=42

• C(8, 2)>f(8, 2)=4(8)+5(2)=42

• D(8, 0)>f(8, 0)=4(8)+5(0)=32

Sehingga dapat diketahui hasil bahwa nilai maksimumnya berada pada titik yang melalui garis bc dgn nilai maksimum 42.

Sumber: https://rumusbilangan.com/program-linier/