Haikal Blogg: Barisan Dan Deret Aritmatika Dan Beberapa Contoh Soalnya

Haikal Alfiwansyah (14)

XI IPS 2

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

b=Un-Un-1

Keterangan:

b = beda;

Un= suku ke-n;

Un+1= suku sebelum suku ke-n; dan

n= banyaknya suku.

1. Bentuk barisan aritmatika

Adapun bentuk barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

U1, U2, U3, ..., Un dengan ∈ Asli

Rumus selisih atau bedanya, adalah sebagai berikut.

Un-1-Un=b

Keterangan:

Un+1= suku ke-(n +1);

Un = suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh:

U1, U2, U3, …, Un-2, Un-1, Un a, a+b, a+2b, …, a+n-3b, a+n-2b, a+n-1b

Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmetika dapat dirumuskan sebagai berikut.

Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.

Keterangan:

b’= beda barisan aritmetika baru;

b= beda barisan aritmetika lama;

k= banyak bilangan yang disisipkan;

n‘= banyak suku barisan aritmetika baru; dan

n= banyak suku barisan aritmetika lama.

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.

2. Suku ke-n barisan aritmetika

Saat kamu diminta untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmetika, cara termudahnya adalah dengan menelusuri satu per satu sampai mencapai suku ke-n. Namun, cara ini tergolong tidak praktis dan membutuhkan banyak waktu. Jika yang diminta suku ke-10 mungkin masih bisa. Bagaimana jika yang diminta suku ke-1000? pasti rumit kan? Untuk itu, rumus suku ke-n yang bisa kamu gunakan adalah sebagai berikut.

Keterangan:

a = suku awal (U1);

Un= suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

Agar kamu lebih paham, yuk simak contoh soal berikut.

Contoh soal 1

Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 6, 10, 14, …, …,!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 2

b = 6 – 2 = 4

Ditanya: U20 =…?

Pembahasan:

3. Suku tengah barisan aritmetika

Jika kamu menemukan barisan aritmetika yang banyak sukunya ganjil, pasti barisan aritmatika tersebut memiliki suku tengah (Ut). Secara matematis, Ut dirumuskan sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal 2

Suku tengah barisan aritmetika adalah 15. Jika banyaknya suku barisan tersebut 11 dan suku ke-4 bernilai -3, tentukan suku terakhirnya!

Pembahasan:

Diketahui:

Ut = 15

n = 11

Ditanya: Un =…?

Pembahasan:

Pertama, kamu harus mencari nilai t.

Suku tengah adalah suku ke-6. Artinya, U6 = 15.

Untuk mencari nilai a dan b, gunakan metode eliminasi.

Substitusikan nilai b ke persamaan (1).

Selanjutnya, tentukan suku terakhir barisan tersebut.

Jadi, suku terakhirnya adalah 60.

4. Sisipan bilangan pada barisan aritmatika

Misalkan kamu menjumpai barisan aritemtika dengan beda b. Lalu, barisan aritmetika tersebut disisipi k bilangan di setiap 2 bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi k bilangan, terbentuk barisan aritmetika baru yang bedanya b’. Pertanyaannya adalah berapakah beda bilangan, gunakan persamaan berikut.

Ketentuannya, suku pertama barisan yang baru sama dengan suku pertama barisan sebelumnya karena bilangan yang disisipkan tidak berada di awal baris.

Deret Aritmatika

Deret aritmetika berkaitan dengan barisan aritmetika. Deret aritmetika yang disimbolkan dengan Sn merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Dengan kata lain, penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika disebut dengan deret aritmatika.