soal relasi dan fungsi

Assalamualaikum wr wb, kali ini saya Haikal Alfiwansyah akan memberikan beberapa soal beserta pembahasan tentang relasi dan fungsi.

1. Jika ( 2x - y, x + y ) = ( x + 5, 4y - 3 ) maka nilai x sama dengan...

Pembahasan:

Jika (2x-y,x+y)=(x+5,4y-3) 

(1)2x-y=x+5

     x=y+5

(2)x+y=4y-3

    y+5+y=4y-3

    2y+5=4y-3

     8=2y

     4=y

(3)x=4+5

    x=9

2. Jika pasangan berurutan (3, x) = (2x, y) maka nilai y =...

Pembahasan:

3=2x 

x = 3/2 atau 1,5 

x = y = 1,5

3. Jika f ( x - 3 ) = 4x + 1 maka f(2)=...

Pembahasan:

F(x) = ax+c

a = 4/1 = 4

c = 1-(4.-3)

   = 1+12

   = 13

f(x) = 4x+13

f(2) = 4.2+13= 21

4. Misal f(2) = 4 dan f( x + 3 ) = f(x) + 5 maka f(8) =...

Pembahasan:

F(x+3) = f(x) + 5

f(2+3) = f(2) + 5

f(5) = 4 + 5

f(5) = 9

f(x + 3) = f(x) + 5

f(5 + 3) = f(5) + 5

f(8) = 9 + 5

f(8) = 14

5. Diketahui fungsi f(x) = 3x + 4. Nilai dari f(5) =...

Pembahasan:

F(x) = 3x + 4

F(5) = 3(5) + 4

        = 15 + 4

        = 19

6. Sebuah parabola memotong sumbu x di (1, 0) dan (5, 0), dan memotong sumbu y di (0, 5). Titik baik parabola adalah...

Pembahasan:

X1 = 1

x2 = 5

melalui x = 0 dan y = 5

persamaan parabola

y = a (x-x1)(x-x2)

5 = a (0-1)(0-5)

5 = a(5)

a = 5/5

a = 1

persamaan parabola

y= 1 (x-1)(x-5)

y = x² - 6x + 5

sumbu simetri = x = -b/2a = - (-6)/2.1 = 3

Nilai y = 3² -6.3 + 5 = -4

Titik balik (3,-4)

7. Nilai p agar grafik fungsi kuadrat y = px2 + px + 1 menyinggung sumbu x adalah...

Pembahasan:

Menyinggung sumbu x artinya b²-4ac=0

a=p, b=p dan c=1

p²-4p=0

p(p-4)=0

p=0 atau p =4

karena p≠0 maka p=4

8. Sepotong kawat yang panjangnya 56cm dibengkokkan membentuk persegu panjang yang luasnya 171 cm2. Panjang persegi panjangnya=...

Pembahasan:

P = panjang persegi panjang 

l = lebar persegi panjang 

k = keliling persegi panjang 

L = luas persegi panjang 

k = 56 

2(p + l) = 56 

p + l = 56 : 2

p + l = 28

p = 28 - l 

L = 171

p.l = 171 

(28 - l)l = 171

28l - l² = 171

l² - 28l + 171 = 0

(l - 9)(l - 19) = 0 

l = 9 cm atau l = 19 cm 

p = 28 - 9 atau p = 28 - 19

p = 19cm atau p = 9 cm

9. Sisi sisi segitiga siku siku berbanding sebagai 3:4:5. Jika luas segitiga sama dengan 12 maka panjang sisi hipotenusa=...

Pembahasan:

A:b:c = 3:4:5

c= sisi hipotenusa

L=12

  =1/2at

  =1//2 x 3y x 4y

  = 6y

6y=12

  y=2

hipo tenusa = 5y = 5(2) = 10 satuan

10. Jika f(x) = 3x + 1 makaa [f(x)]2 - f(x2) - 2f(x) =...

Pembahasan :

F(x)= 3x + 1

[F(x)]2= (3x + 1)2= 9x^2 + 6x + 1

F(x2)= 3x^2 + 1

2[f(x)]= 6x + 2

[F(x)]2- f(x^2) - 2f(x) = 9x^2 + 6x + 1 - (3x^2 + 1) - (6x + 2)

                                    = 9x^2+1-3x^2-1-2

                                    = 6x^2-2

11. Jika f(x) = 5x + 1 dan g(x-1) = x^2 maka ( f o g )(2)=...

Pembahasan:

komposisi fungsi

fog(x)= f { g(x)}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

f(x)  = 5x+ 1

g(x -1) = x² --> g(x)= ( x+ 1)²

(fog)(2) = f { g(2)}

(fog)(2) = f {3²}

(fog)(2) = 5(3²) + 1

(fog)(2) = 46

12. Jika f(x) = 1 + x dan g(x) = x-3/x+3 maka (g o f)(2)=...

Pembahasan:

gof(x)=g(f(x))

gof(x)=g(1+x)/g(1+x)

gof(x)=1+x-3/1+x+3

gof(x)=x-2/x+4

gof(2x)= 2x-2/2x+4

13. Diketahui fungsi f(x)=x+1 /x-3 , x # 3 dengan g(x) = x'2 +x+1 .Nilai kompisisi fungsi (g o f) (2) adalah...

14. Invers fungsi f(x) = 2x + 6 adalah f^-1(x) adalah...

Pembahasan:

Kalo f(x) = ax + b

f^-1 (x) = (x-b)/a

f(x) = 2x + 6

f^-1(x) = (x-6)/2 

f^-1(x) = 1/2x - 3

15. Diketahui fungsi f dengan rumus f(x)=2x-3,dan f-1 adalah fungsi invers dari f.nilai f-1 (-2)=

Pembahasan:

f(x) = 2x-3

y = 2x-3

2x = y+3

x = (y+3)/2

f-¹(x) = (x+3)/2

maka, 

f-¹(-2) = (-2+3)/2

f-¹(-2) = 1/2

16. Jika f (x)= 2x-5/x-4 maka f-1 (x)=...

17. F(x) = 5x³ maka f-1(4)=...

Pembahasan:

F(x)=5x^3

Y= 5x^3

Y/5= x^3

f^-1(4) = kubik akar 4/5

18. Diketahui fungsi f dengan rumus f(x)=5x+3 dan f`¹ adalah fungsi invers dari f.nilai dari f`1 (-2) =...

Pembahasan:

Invers dari fungsi adalah mengubah bentuk y=f(x) menjadi x=f(y)

y=5x+4

y-4=5x

x= (y-4)/5

jadi f invers = (x-4)/5

f`(-2)=( -2-4)/5 = -6/5

19. diketahui fungsi f(x) =x+1/x-3, x tidaksama 3 ,dan g(x) =x²+x+1.tentukan nilai komposisi fungsi (gof)(2)!

Pembahasan:

(g • f)(2) = g(f(2))

f(2)

= (2 + 1)/(2 - 3)

= 3/-1

= -3

g(f(2)

= g(-3)

= (-3)^2 - 3 + 1

= 9 - 3 + 1

= 7

20. Diketahui fungsi f(x) =x+1/x-3,x sama dengan 3 dan g(x) =x^2+x+1. nilai komposisi fungsi (gof)(2)=…

Pembahasan:

F(x)= x+1/x-3

g(x)= x^2+x+1

gof(x)= (x+1/x-3)^2+ (x+1/x-3) +1

= (x^2+2x+1/x^2-6x+9) + (x+1/x-3) + 1

= (x^2-2x +1/x^2-6x+9) + (x+1 +x-3/x-3)

=(x^2-2x + 1/x^2 -6x +9) +(2x-2/x-3)

= (x^2 -2x + 1) + (2x^2-8x-6)/ x^2-6x+9

= 3x^2-10x-5/x^2-6x+9

gof(2)= 3(2)^2 -10(2) -5/2^2-6(2)+9

= (3*4-20-5) / (4-12+9)

= 12-25 / 1

=-13

Horeeee.....sekian terimakasih assalamualaikum wr wb

Soal Trigonometri_

Soal trigonometri dan pembahasan Haikal Alfiwansyah (14) X IPS 2

1. Sebuah kipas angin berputar dengan   kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!

Penyelesaian:

36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik

36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik

Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.

2. Sebuah segitiga siku-siku.

Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :

a) cos β

b) tan β

Pembahasan

sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3

Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):

Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah

3. Segitiga KLM memiliki koordinat K(−5,−2),L(3,−2), dan M(−5,4). Nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah?

Pembahasan :

Pertama sketsakan segitiga KLM pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Tampak bahwa segitiga KLM merupakan segitiga siku-siku (di L).

Dari gambar di atas, diketahui bahwa

KL=3−(−5)=8;KM=4−(−2)=6

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh

LM=√KL2+KM2=√82+62=√64+36=√100=10

Untuk itu,

cosL=KLLM=810=45tanM=KLKM=86=43

Jadi, nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah 45 dan 43.

4. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah?

Pembahasan :

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni −30°.

Karena satu putaran sama dengan 360°, maka −30° sama dengan (360−30)°=330°

Jadi, besar sudutnya adalah 330°

5. Jika (f o g) (x) = x + 4, dan g(x) = x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f(x).

Pembahasan :

(f o g) (x) = x + 4

f(g(x)) = x + 4

f(x – 2) = x + 4

Misal u = x – 2, maka x = u + 2, sehingga

f(x – 2) = x + 4

f(u) = u + 2 + 4

f(u) = u + 6

f(x) = x + 6

y = x + 6

x = y – 6

f-1(x) = x – 6

Jadi, invers dari fungsi f(x) adalah f-1(x) = x – 6.

6. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Pembahasan :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

= -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

= -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

=cos 27°

7. Tanpa memakai kalkulator, tentukan nilai dari sin100°−cos190°cos350°−sin260°

Pembahasan :

sin 100° = sin (90° + 10°)

= cos 10°

cos 190° = cos (180° + 10°)

= -cos 10°

cos 350° = cos (360° − 10°)

= cos 10°

sin 260° = sin (270° − 10°)

= -cos 10°

Jadi :

sin100°−cos190°cos350°−sin260°=cos10°−(−cos10°)cos10°−(−cos10°)=2cos10°2cos10°=1

8. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 0° < x ≤ 360.

Pembahasan :

cos 2x = 1/2

cos 2x = cos 60

Maka :

2x = 60 + k.360

x = 30 + k.180

Untuk k = 0

maka x = 30 + (0)180 = 30

Untuk k = 1

maka x = 30 + (1)180 = 210

dan 2x = –60 + k.360

x = –30 + k.180

Untuk k = 1

maka x = –30 + (1)180 = 150

Untuk k = 2

maka x = –30 + (2)180 = 330

Jadi H adalah { 30, 150 , 210 , 330 }

9. untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius

Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah?

Pembahasan :

koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius

              (r , α) ⇒ ( x , y )

r = 6√3 ;         α = 60° 

(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)

x = r cos α

⇒ 6√3 x cos 60°

⇒ 6√3 x 1/2

⇒ 3√3

y = r sin α

⇒ 6√3 x sin 60°

⇒ 6√3 x 1/2 √3

⇒ 3 x 3

⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)

10. Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah?

Pembahasan :

Perhatikan ilustrasi berikut.

Jadi, tinggi menara adalah

= 80 . tan30° + 1,5

= 80 . 1/3√3 + 1,5

= (80/3√3+1,5)m

11. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.

Pembahasan :

AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC

4cm/sin 60 = BC/sin30

4cm/½√3 = BC/½

BC = ½ × 4cm/½√3

BC = 4cm/√3

BC = 4/3 √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.

12. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B.

Pembahasan :

Akan dicari besar sudut B

sin B = (b sin A)/a

sin B = 8/6 sin 30̊

sin B = 2/3

B = arc sin B

B = arc sin (2/3)

B = 41,8̊

Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊

13. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a yaitu 10 cm dan panjang sisi c yaitu 12 cm. Jika besar sudut yang diapit oleh a dan c yaitu 46o, maka tentukan panjang sisi b.

Pembahasan :

Dik : a = 10 cm, ∠B = 46o, c = 12 cm

Dit : b = ... ?

Berdasarkan aturan cosinus :

⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

⇒ b2 = 102 + 122 − 2(10)(12) cos 46o

⇒ b2 = 100 + 144 − 240 (0.6946)

⇒ b2 = 244 − 166,7

⇒ b2 = 77,3

⇒ b = 8,8 cm

Jadi, panjang sisi b yaitu 8,8 cm.

14.

15.

16.  Grafik f(x)=2cosx memotong sumbu-X di titik berkoordinat ?

Pembahasan :

Apabila grafik memotong sumbu-X, maka nilai f(x)=y=0. Dengan demikian,

f(x)=2cosx⇒0=2cosx⇔cosx=0

Nilai x yang membuat cosx bernilai 0 adalah 90°.

Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat (90°,0)

17. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah°?

Pembahasan :

Pembahasan

Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh π2, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x)= y = a sin k(x−c).

Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).

Dimulai dari titik x =−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x =3π2, sehingga periode grafik fungsinya adalah 3π2–(−π2)=2π.

Dengan demikian,

k = 2π Periode = 2π

2π =1

Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni

a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2

Jadi, rumus grafik fungsinya adalah f(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)

18. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi

F(x) = 8sin(x+3x/2)cos x

Pembahasan:

Gunakan:

2sin a cos B = sin (a+B)+(a-B)

F(x)=8sin(x+3x/2)cos x

F(x)=4×2sin(x+3x/2)cos x

F(x)=4(sin(x+3x/2-x))

F(x)=4(sin(2x+3x/2)+sin(x/2))= 4(sin(2x+3x/2)-1)

F(x)=4sin(2x+3x/2)-4

Sehingga:

• untuk sin (2x+3x/2)=1, maka

Fmaks= 4(1)-4=0

• untuk sin(2x+3x/2)=-1, maka

Fmin= 4(-1)-4=-8

19. Andi berdiri tegak pada jarak 10√3 m dari kaki sebuah pohon besar yang tumbuh gerak lurus. Jika tinggi Andi 1,6 m dan melihat ke puncak pohon dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi pohon tersebut?  

Pembahasan :

tan 60⁰ =  x / 10√3

       √3 = x / 10√3

x = √3 . 10√3

x = 30

Jadi tinggi pohon adalah

= x + tinggi Andi

= 30 m + 1,6 m

= 31,6 m

20. Dalam suatu lingkaran berjari-jari 10 cm, dibuat segi – 8 beraturan. Panjang sisi segi – 8 tersebut adalah?

Pembahasan :

Untuk mencari panjang sisi segi delapan, kita perlu mengetahui besar sudut puncak segitiga pada segi delapan, yaitu:

=360°/8=45°

Selanjutnya, untuk menentukan panjang sisi segi delapan dapat digunakan persamaan pada aturan cosinus.

AB²=OA²+OB²-2 . OA . OBcos 45°

AB²=10²+10²-2 . 10. 10. cos45°

AB²=100+100-2 . 100 .1/2√2

AB²=200-100√2

AB=√200-100√2

AB=√100(2-√2)

AB=10(√2-√2)cm

Nah segitu duluya untuk pembahasan kali ini, Assalamualaikum wr wb